Fractional Brownian Motion (fBM) nedir?

 Fractional Brownian Motion (fBM), fraktal özelliklere sahip bir stokastik süreçtir ve klasik Brownian hareketinin (Brownian Motion, BM) genelleştirilmiş bir versiyonudur. fBM, finansal modelleme, mühendislik, fizik ve biyoloji gibi çeşitli alanlarda kullanılan güçlü bir matematiksel araçtır. İşte fBM hakkında temel bilgiler:

Temel Özellikler:

1. Stokastik Süreç: fBM, stokastik (rastgele) bir süreçtir ve belirli bir süre boyunca rastgele yürüyüşlerin toplamını temsil eder.

2. Kendine Benzerlik (Self-Similarity): fBM, ölçek değiştirildiğinde kendi ile benzer kalır. Bu, sürecin farklı zaman ölçeklerinde benzer özellikler göstermesi anlamına gelir.

3. Hurst Parametresi (H): fBM, Hurst parametresi \( H \) ile tanımlanır. \( H \) parametresi, 0 ile 1 arasında bir değere sahiptir ve sürecin pürüzlülüğünü veya düzgünlüğünü kontrol eder:
    - \( 0 < H < 0.5 \): Anti-persistans (kısa vadeli bellek); süreç negatif otokorelasyona sahiptir.
    - \( H = 0.5 \): Klasik Brownian hareketi; süreç bellekten bağımsızdır.
    - \( 0.5 < H < 1 \): Persistans (uzun vadeli bellek); süreç pozitif otokorelasyona sahiptir.

4. Kovaryans Yapısı: fBM'nin kovaryans fonksiyonu, Hurst parametresine bağlıdır ve şu şekilde ifade edilir:
   \[
   \text{Cov}(B_H(t), B_H(s)) = \frac{1}{2} \left( t^{2H} + s^{2H} - |t-s|^{2H} \right)
   \]
   Burada \( B_H(t) \), Hurst parametresi \( H \) ile tanımlanan fractional Brownian hareketinin değeri olup, \( t \) ve \( s \) zaman noktalarıdır.

Uygulamalar:

- Finans: fBM, özellikle rough volatility modellerinde ve finansal zaman serilerinin analizi ve modellemesinde kullanılır.
- Fizik: fBM, yüzeylerin ve malzemelerin fraktal özelliklerinin modellenmesinde kullanılır.
- Mühendislik: fBM, çeşitli sinyal işleme ve görüntü işleme uygulamalarında kullanılır.
- Biyoloji: fBM, biyolojik sistemlerdeki düzensiz ve fraktal davranışların modellenmesinde kullanılır.

fBM, klasik Brownian hareketinden daha genel ve esnek bir model sunar, bu da onu doğadaki ve finansal piyasalardaki karmaşık süreçlerin modellenmesi için ideal hale getirir.